Agora no GEO

     Bom pessoal, após algum tempo sem publicar aqui, estou de volta! Estive por um tempo afastado por conta de algumas mudanças, neste meio tempo mudei de escola, anteriormente eu trabalhava na Escola Municipal Marechal Alcides Etchegoyen, agora estou trabalhando na Escola Municipal Juan Antônio Samaranch, mais conhecida como Ginásio Experiemental Olímpico, ou GEO.

       Por conta de toda esta mudança estive sem tempo para postar. A notícia boa é que agora além de Matemática, teremos no blog alguns exercícios e explicações de Xadrez, pois aqui no GEO eu leciono esta disciplina. Os alunos do GEO estão convidados a ler o Blog e os demais alunos a continuar acompanhando.

Agradeço a todos os seguidores e peço desculpas pela momentânea ausência.

O Número PI - Parte 1

     Muita gente me pergunta qual é a serventia do PI e até mesmo como esse número foi "inventado".

     Em primeiro lugar, PI está em quase tudo depois da invenção da roda, em qualquer lugar que tenhamos uma esfera, um círculo, uma circunferência ou suas variações (semi-círculo, semi-circunferência, etc...) teremos aí o número PI. Este número não foi inventado e apenas expressa o comprimento de uma semi-circunferência de raio 1. Na verdade PI é apenas um número fruto de um cálculo que pretendo explicar adiante.

     O primeiro cidadão a calcular o número PI com duas casas decimais foi o grego Arquimedes (nome que pretendo dar ao meu filho), um dos maiores Matemáticos de todos os tempos, e na minha modesta opinião, inclusive se comparado a Eüler e Gauss. Arquimedes arrumou uma maneira bem curiosa de calcular esse número, utilizando um método conhecido como exaustão. Veja a figura a seguir:

     Temos uma circunferência e inscrita a ela (dentro dela) temos um quadrado e circunscrita a ela (fora dela) temos outro quadrado. Duas considerações foram feitas aqui por Arquimedes:

1) O comprimento da circunferência é maior do que o perímetro (soma dos lados) do quadrado inscrito, e menor do que o perímetro do quadrado circunscrito.

2) Conforme aumentarmos o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, teremos uma melhor aproximação para o comprimento da circunferência.

OBS: O comprimento da circunferência, seria algo do tipo: Pegamos uma circunferência, cobrimos com um barbante, depois pegamos este barbante e o esticamos, o comprimento do barbante é o comprimento da circunferência.

     Utilizando um polígono de 96 lados e uma circunferência de raio 1, foi que Arquimedes descobriu que o comprimento desta  circunferência era aproximado por 6,28. Arquimedes então resolveu chamar de PI a metade deste número, ou seja, o número PI ficou conhecido como 3,14. Porém lembrem-se, este número é apenas uma aproximação, se aumentarmos o número de lados do polígono, aumentamos também o número de casas decimais de PI.

Desafio: Dada a figura da circunferência com os quadrados inscritos e circunscritos, se esta circunferência tem raio 1, qual é a aproximação para o comprimento da circunferência?

Resposta na próxima postagem.                                                                         

Uma História Curiosa!

     Certa vez um professor revoltado com a bagunça de seus alunos, em sala de aula, resolveu aplicar-lhes um castigo. O castigo consistia em somar todos os números de 1 até 100, ou seja, deveriam fazer a seguinte soma:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

    O professor sabia que as contas eram muito trabalhosas e por conta disso acreditou que os alunos demorariam pelo menos uma hora fazendo as contas, porém para sua surpresa, seu aluno de 8 anos imediatamente após receber o problema foi até a mesa do professor e disse que o resultado seria 5050.

    O professor achou que o menino tinha dito qualquer resultado para se livrar do castigo, mas mesmo assim pediu para que o garoto escrevesse o resultado em um papel e o entregasse. Para que o menino não ficasse livre, o professor passou uma atividade de cópia que deixou o menino bastante ocupado.

     Dois dias depois o professor foi conferir os resultados de seus alunos e o único resultado correto era o do menino que havia feito a conta em menos de cinco minutos. A curiosidade foi natural e o professor chamou seu aluno para que ele explicasse como ele fez as contas.

     O aluno então explicou que fez na verdade a soma duas vezes colocando o somatório invertido em duas parcelas, conforme segue:

                                                1 +   2  +  3 +   4 +   5 + ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

                                            100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ... +   5 +   4  +  3 +   2  +    1

     Daí então ele disse que notara a semelhança com os resultados, este por sua vez seria sempre 101.

100 + 1 = 101

  99 + 2 = 101

  98 + 3 = 101

  ...

 1 + 100 = 101

     De acordo com o menino, estes resultados se repetiam, pois da mesma forma que um dos números aumentava o outro diminuía no mesmo valor. Sendo assim, ele faria 100 somas com o resultado 101. Porém ao somar todos esses números, ele estaria somando o mesmo número duas vezes, sendo assim seria necessário pegar apenas a metade desses valores, ou seja, 50 parcelas de resultado 101. Então o menino olhou para o professor e disse:

- Esta conta eu fiz de cabeça professor, pois 50 x 101 = 5050

      Mais tarde este menino seria reconhecido como um dos maiores Matemáticos de todos os tempos, seu nome era Carl Friedrich Gauss, ou mais conhecido como Gauss. A foto acima é dele.

Resposta da Travessia do Rio com a Família

     Bom pessoal, respondendo ao problema do dia 16/04/2012 segue abaixo a sequência lógica que resolve o problema. Caso você ainda não conheça o problema, não veja a resposta, tente resolver aqui!

Relembrando o problema:

     A ideia é levar toda a família para o outro lado do Rio, além da família o policial e o bandido também. Para isso você dispõe de uma balsa, onde apenas podem viajar duas pessoas por vez. O bandido e as crianças não sabem dirigir a balsa, o bandido não pode ficar sozinho com os membros da família sem a presença do policial, o pai não pode ficar com as meninas sem a presença da mãe, e a mãe não pode ficar sozinha com os meninos sem a presença do pai. 

Policial e Bandido Vão
Policial Volta
Policial e Menino Vão
Policial e Bandido Voltam
Pai e Menino Vão
Pai Volta
Pai e Mãe Vão
Mãe Volta
Policial e Bandido Vão
Pai Volta
Pai e Mãe Vão
Mãe Volta
Mãe e Menina Vão
Policial e Bandido Voltam
Policial e Menina Vão
Policial Volta
Policial e Bandido Vão

Espero que a resposta tenha ajudado!!!
Abraços a todos...

Resposta do problema - Como atravessar o Rio

Se você ainda não conhece o problema tente resolvê-lo antes de ver a resposta.

Relembrando o problema:


      Você está de um lado do rio e quer chegar  ao outro lado, junto de você está o seu cachorro, seu gato e seu ratinho de estimação. Você   quer atravessar o rio  e para isso você tem uma balsa, porém você só pode levar um animal por vez com você, caso contrário a balsa afunda. O cachorro e o gato não podem ficar juntos, pois o cachorro come o gato. O gato e o rato não podem ficar juntos, pois o gato come o rato. Como você fará para atravessar o rio e levar os seus animais de estimação?


Segue a resposta enviada pelo aluno Peterson da turma 1901 e por André Mussel:


Você leva o gato, deixa o gato do outro lado, volta e busca o cachorro, leva o cachorro, deixa o cachorro do outro lado e trás o gato. Leva o rato, deixa o rato e o cachorro do outro lado, volta e busca o gato.

Atravessando o Rio com a Família

     Para quem gostou do post anterior e quiser se aventurar um pouco mais, segue aí um desafio bem parecido. As regras:

1) A balsa comporta no máximo duas pessoas;2) O pai não pode ficar sozinho com as filhas, sem a presença da mãe;3) A mãe não pode ficar sozinha com os filhos, sem a presença do pai;4) O bandido não pode ficar junto aos membros da família sem o policial;5) Apenas o policial, o pai e a mãe sabem atravessar o rio com a balsa.


     Clique no botão redondo para jogar. Para selecionar quem vai andar na balsa, basta clicar no personagem em questão, e para retirar o personagem da balsa também. Depois dos personagens estarem na balsa basta apertar o botão vermelho do outro lado e a balsa seguirá com os ocupantes.
Veja a solução do problema aqui!

Como atravessar o Rio?

     Eis que trago um desafio razoavelmente fácil e bonitinho. Você está de um lado do rio e quer chegar ao outro lado, junto de você está o seu cachorro, seu gato e seu ratinho de estimação. Você quer atravessar o rio  e para isso você tem uma balsa, porém você só pode levar um animal por vez com você, caso contrário a balsa afunda. 

     O problema é o seguinte:

     O cachorro e o gato não podem ficar juntos, pois o cachorro come o gato. O gato e o rato não podem ficar juntos, pois o gato come o rato. Como você fará para atravessar o rio e levar os seus animais de estimação?

A resposta sai na terça-feira! Pense bem!!!

Veja a resposta aqui!

Resposta do problema da nata.

     Vamos ver aqui a solução do problema da Olimpíada de Matemática Portuguesa que pergunta onde está a nata. A resposta foi enviada por André Mussel. Tente resolver antes de ver a resposta, caso ainda não conheça o problema clique aqui.

Relembrando:

     No armazém de uma pastelaria há 6 contentores distintos de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros. Um contentor está cheio de nata e os restantes estão cheios de leite ou de chocolate líquido, havendo duas vezes mais leite do que chocolate. Qual é o contentor que tem a nata?

Bom, algo bem claro é que temos no total:


15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 litros

Sabemos também que apenas um tem nata, e os demais possuem leite ou chocolate.

Sabemos ainda que a quantidade de leite é o dobro da quantidade de chocolate.

      Se chamarmos N de quantidade de nata,  L de quantidade de leite e C de quantidade de chocolate, então temos que:

L = 2C (A quantidade de leite é igual a duas vezes a quantidade de chocolate.)

Temos então que:

119 litros = L + C + N (ou seja, os 119 litros é a soma das quantidades de leite, chocolate e nata)

como, L = 2C, temos:

119 = 2C + C + N, daí

119 = 3C + N, logo:

119 - N = 3C

Neste ponto o que estamos dizendo é que a quantidade total de litros menos a quantidade de nata deve ser um múltiplo de 3, pois como C é um número natural, 3 divide 119 - N.

Os valores candidatos para N são:

15, 16, 18, 19, 20 e 31

Testando: 

119 - 15 = 104 (Não serve, não é múltiplo de 3)

119 - 16 = 103 (Não serve, não é múltiplo de 3)

119 - 18 = 101 (Não serve, não é múltiplo de 3)

119 - 19 = 100 (Não serve, não é múltiplo de 3)

119 - 20 =  99  Este serve.

119 - 31 =  88  (Não serve, não é múltiplo de 3)

Como o único candidato possível é 20, a nata só pode estar dentro do contentor de 20 litros.

OBS: Podemos usar o raciocínio de que se temos 2 litros de leite, temos um de chocolate, então pra cada medida de chocolate, gastaremos 3 medidas no total entre chocolate e leite. Daí já temos a ideia de que retirando a nata do total, o que sobre tem que ser uma medida que seja múltiplo de 3. Em vez de montarmos as equações podemos vir direto a etapa do teste dos candidatos.

A importância de saber a tabuada.

      Para quem estuda Matemática saber a famosa tabuada de multiplicação é fundamental. Muitos teóricos discutem sobre esta questão, seria necessário mesmo decorar a tabuada, ou seria melhor entendê-la?
    Digo que ambos são importantes, entender é fundamental, mas decorar é mais do que necessário. Pela experiência que tenho em sala de aula, os alunos começam a ter problemas quando aparecem as famosas contas de vezes e as de dividir, e este problema só é agravado porque os alunos não conhecem a tabuada de multiplicação, e quando não a conhecem, qualquer conta simples se torna tão trabalhosa que o aluno acaba por desistir. Vamos tentar entender a tabuada de vezes?

Veja a figura:

                                                                       x    x    x    x    x
                                                                       x    x    x    x    x
                                                                       x    x    x    x    x
                                                                       x    x    x    x    x


        Esta figura nos dá por exemplo o resultado de 4 x 5 = 20. Note que temos 4 linhas, cada uma contendo  5 unidades da letra x. Uma figura semelhante a esta é a que segue:

                                                                         x     x     x     x
                                                                         x     x     x     x
                                                                         x     x     x     x
                                                                         x     x     x     x
                                                                         x     x     x     x


       Repare que se virarmos a figura anterior teremos a mesma coisa, porém nesta temos 5 x 4 =20. Agora são 5 linhas, cada uma contendo 4 unidades da letra x.
        Logo de início temos a lei da comutatividade, ou seja:

                                                                5 x 4 = 4 x 5 = 20

    Quando invertemos as parcelas de uma multiplicação o resultado é exatamente o mesmo. Esses entendimentos são fundamentais, mas imagine ter que fazer um monte de x para descobrir quanto é 9 x 8. Com certeza teremos dois problemas, o primeiro é o trabalho de escrever todos, o segundo é o de contar todos, qualquer uma das duas etapas feita de modo impreciso fará com que você erre o resultado. É interessante entender, e até fazer a figura para uma primeira vez, mas e depois, você não acha mais fácil decorar?
         Com a ideia da figura e com a comutatividade, temos que decorar apenas 36 casos.

2 x 2 =   4   3 x 3 =   9   4 x 4 = 16   5 x 5 = 25   6 x 6 = 36   7 x 7 = 49         

2 x 3 =   6   3 x 4 = 12   4 x 5 = 20   5 x 6 = 30   6 x 7 = 42   7 x 8 = 56         

2 x 4 =   8   3 x 5 = 15   4 x 6 = 24   5 x 7 = 35   6 x 8 = 48   7 x 9 = 63      

2 x 5 = 10   3 x 6 = 18   4 x 7 = 28   5 x 8 = 40   6 x 9 = 54      

2 x 6 = 12   3 x 7 = 21   4 x 8 = 32   5 x 9 = 45       

2 x 7 = 14   3 x 8 = 24   4 x 9 = 36                          8 x 8 = 64    9 x 9 = 81

2 x 8 = 16   3 x 9 = 27                                                   8 x 9 = 72  

2 x 9 = 18

        Repare que não tem 5 x 4, mas tem 4 x 5 que é a mesma coisa. Também não tem 1 x 8, pois 1 x 8 = 8, assim como 1 x 9 = 9, 1 x 3 = 3 e assim por diante, a própria figura é bem simples, e não precisa ser decorada. 

    Se você souber de cabeça essas 36 combinações, conseguirá resolver todos os problemas de multiplicação e de divisão com que se deparar.

        O que está esperando? Memorize estas combinações e depois confira fazendo as figuras.

Bons estudos!!!

Onde está a Nata?

       Problema simples, mas que exige um certo raciocínio. Basta conhecer as 4 operações fundamentais para resolver este problema.


Problema:

       No armazém de uma pastelaria há 6 contentores distintos de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros. Um contentor está cheio de nata e os restantes estão cheios de leite ou de chocolate líquido, havendo duas vezes mais leite do que chocolate. Qual é o contentor que tem a nata?

     Este é um problema que caiu nas Olimpíadas de Matemática de Portugal. A resposta precisa ser justificada para ser válida. Postarei a resposta deste problema na sexta-feira, 13 de abril de 2012. Pense bem e boa sorte!!!

Para ver a solução deste problema clique aqui.

Resposta da idade das filhas

     O problema sobre a idade das filhas é bem interessante e intrigante, se você ainda não conhece o problema então não leia, clique aqui e tente resolver o enigma antes de ver a resposta.

Solução:

     Quando os dois amigos se encontram, João e Carlos, João diz a Carlos que multiplicando a idade de suas filhas o resultado é 36 e que a soma das idades das meninas é o número da casa de Carlos. Somente com esses dados Carlos seria capaz de descobrir a idade das filhas de João. Vejamos a seguinte tabela:

     Nesta tabela temos a idade de cada filha, onde o produto das idades é 36, porém note que a soma varia. Carlos não sabia a idade das filhas de João, pois existia mais de uma soma igual, ou seja, o número da casa de Carlos era 13, caso fosse por exemplo 38, Carlos teria a certeza de que as idades seriam neste caso 1, 1 e 36. 

    Como Carlos não consegue saber ao certo a idade das meninas, só resta a possibilidade da soma das idades se repetirem. Daí Carlos replica que ainda falta um dado para descobrir as idades das filhas de João, pois persiste na dúvida das idades e se encontra entre (1,6,6) e (2,2,9). 

     A dica final, dá a certeza a Carlos, pois João diz que a filha mais velha toca piano, logo precisa existir uma filha mais velha e daí, por exclusão, as idades das filhas de João são 2, 2 e 9 anos.

A idade das filhas.

     Como temos aí um feriadão, vou deixar aqui um desafio que talvez ocupe sua cabeça durante todo esse período. Este é um daqueles problemas simples, porém complicados e que nunca nos esquecemos dele.

     Admito que fiquei intrigado quando o vi pela primeira vez, mas garanto que existe uma solução lógica e matemática para ele, além disso só é preciso saber somar, multiplicar e raciocinar. Vamos ao problema:

Dois amigos matemáticos, João e Carlos, se encontraram e começaram a seguinte conversa:

- E aí João, quanto tempo, como vão as coisas?

- Está tudo certo meu amigo, estou casado e tenho três filhas. - disse João.

- Nossa... É mesmo? E que idade tem as suas filhas? - perguntou Carlos, surpreso.

- Você vai saber de primeira, pois a soma das idades das minhas filhas é o número da sua casa, e se multiplicar a idade delas, o resultado é exatamente a sua idade, ou seja 36 anos.

- Agora eu quase consigo saber a idade das suas filhas, mas ainda me falta um dado. - retrucou Carlos, após pensar alguns segundos.

- Ah... sim, tens razão, a minha filha mais velha toca piano.

     No fim do diálogo Carlos estava alegre por saber enfim a idade das filhas de João. E você, já descobriu a idade das filhas dele?

Na segunda-feira dia 09/04/2012 darei a solução do problema, até lá pensem bem em como resolvê-lo.

Veja aqui a solução para este enigma.

Resposta do Sudoku do dia 30/03

Conforme prometido vai aí a resposta do Sudoku do dia 30 de março de 2012. Se você ainda não tentou resolver, clique aqui e mãos à obra.

Segue a resposta:

Os números em azul são os originais, os números pretos formam a resposta.

Resposta do Enigma das Pérolas

     Sugestão do Aluno Peterson, turma 1.901 E.M. Marechal Alcides Etchegoyen.

Clique Aqui para reler o problema na íntegra antes de ver a solução.

Para recordar: O problema é de uma balança de comparação, onde só pode-se usar esta balança, e apenas duas vezes. O objetivo do problema é descobrir dentre 7 pérolas exatamente iguais, qual delas é a mais pesada, se 6 destas 7 pérolas possuem o mesmo peso e apenas uma delas pesa mais que as outras.

A sugestão: 

1ª Pesagem:

     Pegamos 6 pérolas e colocamos 3 em cada prato, se um dos pratos descer, então a pérola mais pesada estará no prato que desceu. Porém se ambos ficarem parados, então a pérola mais pesada estará do lado de fora, e será a pérola que não foi pesada.

2ª Pesagem:

    A 2ª pesagem só ocorrerá no caso de um dos pratos descer, então repetiremos a ideia anterior, porém colocando uma pérola em cada prato, e saberemos que se algum deles descer é lá que estará a pérola mais pesada, porém se ambos ficarem parados, então a pérola mais pesada será aquela que não participou da 2ª pesagem.

No post do problema deixei a pergunta sobre o que significava a palavra destreza. Aí vai:

Destreza: Qualidade de quem é destro, agilidade, aptidão, habilidade, arte.

Um pouquinho de humor

     Quem nunca ouviu falar no jogo Angry Birds, que se tornou uma febre mundial? Para vencer este jogo com facilidade podemos utilizar a Matemática, veja como é simples:

     É claro que você não precisa disso tudo pra jogar, hahaha. Esta foi apenas uma piada que fizeram com o lançamento de um projetil. E embora pareça brincadeira estas contas são utilizadas para lançamentos de satélites, mísseis e qualquer tipo de lançamento que dependa de precisão. A curva do lançamento de um passarinho do Angry Birds, é chamada de Parábola, e é dada por uma função quadrática, tema este que os alunos do 9º ano estudam no finalzinho do curso. Sabendo a inclinação que o passarinho é arremessado e a velocidade inicial é possível saber onde o passarinho vai cair.

OBS: Alguns dados na imagem estão equivocados.

Para jogar o Angry Birds, clique aqui!

Heróis do Futuro

     Bom pessoal, o mundo passa por diversas mudanças, e com isso o ser humano precisa aprender a viver no planeta Terra de forma a garantir a própria existência, daí a importância de questões como:

• Para onde vai o nosso lixo?
• De onde vem a energia que usamos?
• Por que economizar água?

     Estas e diversas outras questões estão ligadas ao tema SUSTENTABILIDADE. A FIRJAN pensando nisto lançou um concurso chamado Heróis do Futuro.

     Esse concurso visa ensinar as pessoas sobre este tema tão recorrente, porém tão desconhecido da população em geral. O concurso tem uma premiação, que vai de IPAD2, PlayStation3 até uma viagem para Fernando de Noronha. As equipes escolares precisam ter um professor orientador. Aos alunos da Escola Municipal Marechal Alcides Etchegoyen, que se interessarem em participar do concurso, podem contar comigo nesta empreitada.

Mais informações: http://www.heroisdofuturo.com.br

Qual é a mais pesada?

       Certa vez um matemático foi desafiado com um problema que chamou muito a sua atenção. O problema consistia em descobrir qual era a pérola mais pesada dentre 7 pérolas de igual tamanho, forma e cor, onde 6 pérolas possuíam o mesmo peso e apenas uma delas era mais pesada que as demais. Para resolver este problema o Matemático tinha uma balança como esta logo abaixo, que chamamos de balança de comparação, uma vez que quando comparadas duas medidas de massa, a maior faz o prato descer.

      O grande problema é que para descobrir qual pérola era a mais pesada ele só poderia utilizar a balança, e apenas duas vezes. É claro que o Matemático conseguiu escapar deste enigma, e solucionou o problema com grande destreza. E você, sabe como ele descobriu a pérola mais pesada?

Notas:

• Procure no dicionário o que significa a palavra destreza, caso não conheça a palavra.
• A resposta do enigma eu darei na terça-feira (03/04/2012)

Bibliografia: O homem que calculava - Malba Tahan

Para ver a solução do problema clique aqui!

Abrindo o raciocínio.

         Vou deixar logo abaixo um desafio, é o famoso jogo SUDOKU, que é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de Matemática envolvida além do raciocínio lógico.

       Use bem seu raciocínio e boa sorte!!! A resposta será postada na semana que vem.
       Fonte: http://sudoku.net.br/

       Para ver a resposta clique aqui!

Pra mostrar que Matemática é Arte

     Assista ao vídeo e veja como a Matemática pode se traduzir em artes que conhecemos, tal como a música por exemplo. Você sabia que para tocar um instrumento é preciso saber Matemática? 

     Este vídeo do Pato Donald é um desenho muito interessante que mostra a Matemática em situações diversas, seja na Música, na Sinuca, na Natureza, nas Esculturas, nas Construções e nas Pinturas. E você, ainda acha que a Matemática não serve pra nada?

Parece coisa de outro mundo, mas não é.

       Bom pessoal, é isso aí, sejam todos bem-vindos ao meu blog. Quero desmitificar a Matemática, uma disciplina muito importante e com tantas aplicações no nosso cotidiano.

       As pessoas normalmente possuem a visão da Matemática como acontece na tirinha aí, bem ao nosso lado. O desespero bate quando vemos um problema grande ou de difícil entendimento, porém existem pessoas que nem estudam para fazer uma prova de Matemática e se saem super bem.

    Algumas dicas:

• Preste atenção às aulas.
• Faça todos os exercícios pedidos pelo(a) professor(a).
• Nunca saia da aula sem entender. Pergunte!
• Seja organizado, a Matemática exige organização.
• Procure fazer contas de cabeça, isso facilita muito em alguns problemas.

       No mais é isso aí pessoal, espero que possamos juntos encontrar soluções simples e bonitas para os nossos problemas matemáticos. Lembrem-se que sem estudar qualquer matéria fica muito difícil. Bons estudos!!!